Soal dan Pembahasan Soal Olimpiade SMP Tingkat Kabupaten Tahun 2013 (Part 2)

Soal dan Pembahasan Soal Olimpiade SMP Tingkat Kabupaten/Kota Tahun 2013 (Part 2)

Jangan lupa baca juga : Pembahasan Soal OSK Matematika SMP Tahun 2013 Bagian Pertama




11. Jika barisan berikut adalah barisan bilangan bulat positif berurutan yang dihilangkan semua bilangan kelipatan tiga : 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14, ... maka suku ke-67 barisan tersebut adalah ...

Dari barisan bilangan asli : 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... untuk mendapatkan barisan baru 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14, ... cukup dengan menghilangkan bilangan kelipatan tiga yang ada. Itu artinya bilangan n, bukan kelipatan tiga, dari barisan bilangan asli akan menjadi suku ke-(n−⌊n3⌋) pada barisan yang baru. Sebagai contoh bilangan 50 akan menjadi suku ke-(50−⌊503⌋)=34 pada barisan yang baru. Selanjutnya masalah yang ditanyakan adalah kita harus mencari bilangan n sehingga (n−⌊n3⌋)=67. Karena n bukan kelipatan 3 maka ada dua kemungkinan

• Untuk n=3k+1 diperoleh,
  3k+1−⌊3k+13⌋=67⇔3k+1−k=67⇔k=33
  sehingga diperoleh n=3×33+1=100.
• Untuk n=3k+2 diperoleh,
  3k+2−⌊3k+23⌋=67⇔3k+2−k=67⇔2k=65
  yang jelas tak mungkin karena k bulat.

Jadi, suku ke-67 dari barisan bilangan yang baru adalah 100.

12. Jika rata-rata 51 bilangan bulat berurutan adalah 10, maka bilangan terkecil dari semua bilangan tersebut adalah ...

Misalkan ke-51 bilangan tersebut adalah, a,a+1,a+2,a+3,⋯,a+50 maka diperoleh

a+a+1+a+2+a+3+⋯+a+5051a+(1+2+3+⋯+50)51a+51×25a+25a=51×10=510=510=10=−15

Jadi, bilangan terkecil adalah −15.


13. Sebuah kantong berisi 15 bola merah, 12 bola biru, dan 3 bola hijau. Diambil sebuah bola secara acak sebanyak 2 kali tanpa pengembalian. Peluang bola yang terambil merah pada pengambilan pertama dan hijau pada pengambilan kedua adalah ...

Peluang terambil bola pertama merah adalah 1530=12. Sedangkan peluang terambil bola kedua hijau adalah 329. Oleh karena itu, peluang bola yang terambil merah pada pengambilan pertama dan hijau pada pengambilan kedua adalah 12×329=358.

14. Lima orang anak akan naik mobil dengan kapasitas enam tempat duduk, yakni dua di depan termasuk pengemudi (Sopir), dua di tengah, dan dua di belakang. Jika hanya ada dua orang yang bisa mengemudi, banyak cara mengatur tempat duduk mereka adalah ...

Misalkan orang pertama dan orang kedua yang bisa mengemudikan mobil. Andai orang pertama menjadi sopir maka empat teman yang lain bebas untuk duduk dimana saja dengan masih ada 5 kursi tersisa, sehingga kemungkinan duduk ada 5×4×3×2=120 cara. Andai orang kedua yang menjadi sopir juga akan ada 120 kemungkinan cara duduk. Jadi, total ada 240 cara mengatur tempat duduk mereka berlima.

15. Jika diketahui panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah 1 satuan, maka jarak titik E ke bidang datar AFH adalah ... satuan.

Perhatikan sketsa berikut!

Misalkan jarak titik E ke bidang datar AFH adalah t. Perhatikan bahwa △AFH adalah segitiga samasisi dengan panjang sisi 2√. Selain itu kita peroleh bahwa,

Volume Limas E.AFH13⋅12⋅2√⋅2√⋅3√2⋅t3√tt=Volume Limas A.EFH=13⋅12=1=3√3

16. Diketahui sekelompok data memiliki sifat-sifat berikut :
a. Terdiri dari 5 data bilangan bulat positif dengan rataan = 7
b. Median = modus = 9
Jika jangkauan didefinisikan sebagai selisih data terbesar dengan data terkecil, maka jangkauan terbesar yang mungkin adalah ...

Karena angka 9 merupakan modus maka 9 muncul lebih dari satu kali. Di lain pihak, jika 9 muncul tiga kali maka susunan yang mungkin adalah a,b,9,9,9 akan tetapi konfigurasi yang seperti ini tidak akan memaksimalkan jangkauan. Selain kemungkinan ini jika 9 muncul lebih dari tiga kali maka jumlah kelima bilangan tersebut lebih dari 35. Oleh karena itu 9 muncul tepat dua kali. Selanjutnya misalkan data tersebut adalah a,b,9,9,c. Karena a+b+9+9+c=35, untuk memperoleh nilai c−a terbesar pilih a=1,b=2 dan c=14. Maka diperoleh c−a=14−1=13.

17. Di dalam suatu keranjang terdapat 12 apel Malang, dua diantaranya diketahui busuk. Jika diambil 3 apel secara acak (random), maka peluang tepat satu di antaranya busuk adalah ...

Peluang terambil tepat satu apel busuk yaitu

C21⋅C102C123=2⋅452⋅11⋅10=922

18. Sebuah silinder tegak diletakkan di dalam kubus ABCD.EFGH dengan panjang sisi kubus 2 m. Selanjutnya silinder dipancung oleh bidang miring yang melalui titik A,B, dan T dimana T adalah titik perpotongan diagonal bidang CDHG. Volume terbesar silinder terpancung ini adalah ... m3.

Jelas bahwa diameter alas dan tinggi silinder adalah 2 m. Bidang yang melalui titik A,B, dan T memancung silinder menjadi dua bagian dengan perbandingan 3:1. Sehingga volume terbesar silinder terpancung adalah

34×π×12×2=3π2

19. Jika gambar di bawah adalah segi delapan beraturan, maka perbandingan luas antara daerah yang diarsir dan luas segi delapan beraturan adalah ...

perhatikan gambar di bawah ini!

Perhatikan bahwa

luas segi delapan ABCDEFGH=8× luas △PGF

sedangkan

luas segiempat DEFG=3× luas △PGF− luas △PDG

akan tetapi karena CP=PG maka  luas △PDG= luas △PCD= luas △PGF. Oleh karena itu diperoleh,

luas segiempat DEFG=3× luas △PGF− luas △PDG=3× luas △PGF− luas △PGF=2× luas △PGF=2×18×luas segi delapan ABCDEFGH=14×luas segi delapan ABCDEFGH

20. Beberapa bilangan empat angka memiliki angka-angka penyusun tak nol yang saling berbeda dan berjumlah 10. Banyak bilangan yang dimaksud adalah ...

Himpunan bilangan empat angka berbeda yang jumlahnya 10 adalah {1,2,3,4}. Oleh karena itu banyaknya bilangan empat angka yang bisa disusun sesuai kriteria soal adalah 4!=24.

Ok, bagian kedua dari seri pembahasan OSK matematika SMP tahun 2013 telah selesai. Sampai bertemu lagi pada seri terakhir atau seri ketiga. Jika memungkinkan pada pembahasan OSK matematika SMP bagian tiga nanti akan saya sertakan pula versi PDF-nya secara komplit. Jadi, update dan ikuti terus blog Mathematic's Room ini. Terima kasih