Soal dan Pembahasan Soal Olimpiade SMP Tingkat Kabupaten Tahun 2013 (Part 1)

Soal dan Pembahasan Soal Olimpiade SMP Tingkat Kabupaten/Kota Tahun 2013 (Part 1)

Olimpiade matematika SMP tingkat kabupaten tahun 2013 telah dilaksanakan sabtu kemarin, tanggal 9 Maret 2013. Para peserta yang ikut OSK tahun ini tinggal berharap dan berdoa saja supaya lolos ke tingkat provinsi atau OSP. OSP sendiri sesuai jadwal akan dilaksanakan tanggal 13 April. Nah, sambil menunggu pengumuman hasil OSK Matematika tahun ini, mari kita lihat kembali soal OSK kemarin. Hitung - hitung koreksi dan belajar buat persiapan OSP.

Pembahasan OSK Matematika SMP tahun 2013 ini seperti biasa akan saya bagi menjadi tiga bagian. Untuk masing - masing bagian akan terdiri dari 10 soal. Bagian pertama saat ini saya ambil dari nomor 1 sampai nomor 10 pilihan ganda. Berikut soal - soalnya :

No. 1 Bentuk x4−1 mempunyai faktor sebanyak ...

Perhatikan bahwa x4−1=(x2+1)(x+1)(x−1). Jadi, bentuk x4−1 memiliki (1+1)×(1+1)×(1+1)=8 faktor.

No. 2 Jika a,b,c, dan d adalah bilangan bulat positif dibagi 13 berturut-turut bersisa 12, 9, 11, dan 7, maka 3a+4b−3c+2d dibagi 13 akan bersisa ...

Dengan operasi modular pada bilangan bulat diperoleh,

3a+4b−3c+2d≡3×12+4×9−3×11+2×7mod 13≡36+36−33+14mod 13≡53mod 13≡1mod 13

Jadi, 3a+4b−3c+2d bersisa 1 jika dibagi 13.
No. 3 Nilai rata-rata kelas A adalah 73, sedangkan nilai rata-rata kelas B adalah 88. Jika jumlah siswa kedua kelas tersebut adalah 75 dan nilai rata-rata kedua kelas adalah 80, maka banyak siswa kelas A adalah ... orang.

Misal banyak siswa kelas A adalah x dan banyak siswa kelas B adalah y maka diperoleh x+y=75 dan

73x+88yx+y=80⇔8y=7x

sehingga didapat

8x+8y=600⇔8x+7x=600⇔15x=600⇔x=40

Jadi, banyak siswa kelas A adalah 40.

No. 4 Suatu hari perbandingan jumlah uang Netty dan Agit adalah 2:1. Sehari kemudian Netty memberikan uangnya sejumlah Rp 100.000,00 kepada Agit. Sekarang perbandingan uang Netty dan Agit adalah 1:3. Jumlah uang Netty sekarang adalah Rp ...

Misalkan jumlah uang Netty adalah n dan jumlah uang Agit adalah a maka n=2a dan a+100.000=3(n−100.000). Oleh karena itu diperoleh,

a+100.000=3(n−100.000)⇔a+100.000=3(2a−100.000)⇔a+100.000=6a−300.000⇔5a=400.000⇔a=80.000

Jadi, uang Netty sekarang adalah 2×60.000−100.000=60.000
No. 5 Jika f adalah fungsi linier, f(1)=2000 dan f(x+1)+12=f(x) maka nilai f(100)=...

Karena f fungsi linier dan f(x+1)=f(x)−12 maka f(1),f(2),f(3),⋯ merupakan barisan aritmatika dengan beda −12. Oleh sebab itu, f(100)=2000+99×(−12)=2000−1188=812.

No. 6 Diketahui H={k|x2−1<x2+k<2(x+1), dengan x dan k bilangan bulat }. Banyaknya himpunan bagian dari himpunan H adalah ...

Perhatikan bahwa anggota himpunan H adalah bilangan bulat k sehingga terdapat bilangan bulat x yang memenuhi x2−1<x2+k<2(x+1). Dari x2−1<x2+k diperoleh k>−1. Sedangkan dari x2+k<2(x+1)⇔(x−1)2+k<3 diperoleh k<3. Sehingga hanya ada tiga nilai k yang mungkin yaitu k=0,1,2.

• Jika k=0 maka pilih x=0,1,2 (pada kenyataannya cukup pilih satu saja nilai x yang memenuhi).
• Jika k=1 maka pilih x=0,1,2.
• Jika k=2 maka pilih x=1.

Jadi, H={0,1,2}. Sehingga banyaknya himpunan bagian dari himpunan H adalah 23=8.

No. 7 Tiga orang A,B, dan C pinjam meminjam kelereng. Pada awalnya ketiga orang tersebut memiliki sejumlah kelereng tertentu dan selama pinjam meminjam mereka tidak melakukan penambahan kelereng selain melalui pinjam meminjam diantara ketiga orang tersebut. Pada suatu hari A meminjami sejumlah kelereng kepada B dan C sehingga jumlah kelereng B dan C masing-masing menjadi dua kali lipat jumlah kelereng sebelumnya. Hari berikutnya B meminjami sejumlah kelereng kepada A dan C sehingga jumlah kelereng A dan C masing-masing menjadi dua kali lipat jumlah kelereng sebelumnya. Hari terakhir C meminjami sejumlah kelereng kepada A dan B sehingga jumlah kelereng A dan B masing-masing menjadi dua kali lipat jumlah kelereng sebelumnya. Setelah dihitung akhirnya masing-masing memiliki 16 kelereng. Banyak kelereng A mula-mula adalah ...

Untuk mengerjakan soal ini akan lebih mudah jika kita bekerja mundur. Pada hari terakhir yang saya anggap hari ketiga jumlah kelereng A,B dan C sama yaitu 16. Pada hari kedua banyak kelereng A dan B adalah 8 sehingga banyak kelereng C adalah 16+8+8=32. Sedang pada hari pertama, banyak kelereng A dan C berturut- turut adalah 4 dan 16 sehingga banyak kelereng B adalah 8+4+16=28. Terakhir, banyak kelereng B dan C mula - mula berturut- turut ialah 14 dan 8 sehingga banyak kelereng A mula - mula yaitu 4+14+8=26.

No. 8 Jika jumlah dua bilangan positip adalah 24, maka nilai terkecil dari jumlah kebalikan bilangan-bilangan tersebut adalah ...

Misal dua bilangan tersebut adalah a dan b maka diperoleh a+b=24. Oleh karena itu

1a+1b=a+bab=24ab

Agar nilai 1a+1b minimum maka haruslah dipilih nilai a dan b sehingga ab maksimum yaitu terjadi ketika a=b=12. Jadi, 1a+1b=2412×12=16.

No. 9 Jika 2013700 ditulis dalam bentuk desimal, maka angka ke-2013 di belakang koma adalah ...

Karena 20137000=0,2875714285714285714285714285714285714⋯ yaitu terjadi pengulangan blok 285714 sebanyak tak hingga kecuali pada blok pertama yaitu 2875714. Anggap blok pertama memiliki pola sama yaitu 285714. Karena 2013=6×335+3 maka angka ke-2013 jika blog pertama berpola sama 285714 adalah 5. Akan tetapi pada kenyataannya blok pertama berpola 2875714 sehingga untuk mendapatkan angka ke-2013 cukup menggeser ke kiri satu angka. Oleh karena itu didapat angka ke-2013 adalah 8. 

No. 10 Diberikan angka disusun sebagai berikut: 987654321. Berapa banyak tanda operasi penjumlahan harus disisipkan di antara angka-angka tersebut agar menghasilkan jumlah 99?

Perhatikan bahwa 9+8+7+6+5+4+3+2+1=45. Supaya mendapat jumlah 99 maka paling tidak terdapat satu bilangan puluhan. Anggap bilangan tersebut adalah 10a+b maka diperoleh,

45−a−b+10a+b=99⇔9a=54⇔a=6

sehingga b=5. Setelah dicek diperoleh 9+8+7+65+4+3+2+1=99. Jadi diperlukan 7 tanda operasi penjumlahan.


Demikian pembahasan OSK Matematika SMP tahun 2013 bagian pertama. Semoga bermanfaat dan selalu ikuti update blog ini untuk mendapatkan pembahasan OSK Matematika SMP tahun 2013 bagian kedua.