Bilangan Basis Sepuluh: Definisi dan Aplikasinya Dalam Soal Olimpiade Matematika

Bilangan Basis Sepuluh: Definisi dan Aplikasinya Dalam Soal Olimpiade Matematika

Dalam kehidupan sehari - hari, jika melihat bilangan 6825 maka kebanyakan orang akan secara otomatis membaca "enam ribu delapan ratus dua puluh lima". Hal ini berarti ada enam bilangan seribu, delapan bilangan seratus, dua bilangan sepuluh dan ditambah lima. Dalam notasi matematika ditulis,

6825=6×1000+8×100+2×10+5

Penyajian bilangan seperti di atas dikenal sebagai penyajian bilangan dalam basis sepuluh atau desimal.

Sebenarnya selain basis sepuluh, terdapat pula penyajian bilangan dalam basis lain. Seperti basis dua yang banyak dipakai di dunia komputerisasi, bisa juga basis tiga, empat dan seterusnya. Namun dalam kehidupan sehari - hari sudah terdapat semacam konvensi bahwa bilangan yang umum dipakai adalah dalam basis sepuluh.

Nah berkenaan dengan hal itu, akan kita pelajari khusus mengenai basis sepuluh. Untuk basis lain mungkin lain kali ya. Dan sebagai kesepakatan pula, untuk postingan kali semua bilangan yang muncul adalah dalam basis sepuluh kecuali ditulis lain. Ingat itu, jangan bingung.

Definisi Basis Sepuluh

Penyajian bilangan dalam basis sepuluh adalah sistem penyajian bilangan yang memakai sepuluh sebagai basis/ dasarnya. Dalam basis sepuluh, (n+1) digit bilangan bulat nonnegatif N=anan−1an−2⋯a1a0 bermakna

N=an×10n+an−1×10n−1+an−2×10n−2+⋯+a×10+a0∗∗)

Sehingga bilangan 2324 bermakna 2×103+3×102+2×10+4.

Manfaat penyajian bilangan seperti pada ∗∗) adalah sebuah bilangan diekspansi dalam (n+1) bilangan yang independen. Itu artinya meskipun ada beberapa digit dari bilangan tersebut yang belum diketahui, kita tetap dapat melakukan operasi penjumlahan, pengurangan dan operasi perkalian secara bebas. Tanpa terlalu terkait antara satu dengan yang lain.

Contoh soal berikut mungkin bisa memberi sedikit gambaran manfaat seperti yang saya utarakan di atas.

Contoh 1.
abcdef adalah bilangan enam digit sedemikian sehingga defabc bernilai enam kali abcdef. Tentukan nilai a+b+c+d+e+f.
Penyelesaian : Perhatikan bahwa kita bisa menulis abcdef=abc000+def=1000⋅abc+def. Sehingga berdasarkan asumsi soal diperoleh,

1000⋅def+abc1000⋅def+abc994⋅def142⋅def=6(1000⋅abc+def)=6000⋅abc+6⋅def)=5999⋅abc=857⋅abc

Karena FPB(142,857)=1 maka 857 membagi def. Padahal def adalah bilangan tiga digit berakibat def=857. Sehingga tentu saja abc=142. Oleh karena itu, a+b+c+d+e+f=1+4+2+8+5+7=27.

Atau mungkin contoh soal lain yang mirip dan pernah ditanyakan melalui blog ini yaitu
Tentukan bilangan enam digit MANDOR sehingga 7×MANDOR=6×DORMAN.
Setelah melihat contoh di atas saya rasa pembaca sudah bisa menyelesaikan soal ini dengan mudah.

Beberapa Bentuk Khusus.

• aaa⋯aan of a=a(10n−1+10n−2+10n−3+⋯+10+1)=a9(10n−1)
• abab⋯abn of ab=ab(102(n−1)+102(n−2)+⋯+102+1)=ab99(102n−1)
• abcabc⋯abcn of abc=abc(103(n−1)+103(n−2)+⋯+103+1)=abc999(103n−1)

dan seterusnya apabila terdapat pengulangan digit secara periodik, pembaca dapat menentukan sendiri bagaimana formulanya dengan melihat beberapa contoh di atas.

Contoh Aplikasi Dalam Soal

Contoh 2.
Tentukan bilangan bulat positif terkecil yang digit pertamanya adalah 4, dan jika digit 4 tersebut dipindah ke bagian akhir dari bilangan tersebut akan diperoleh bilangan baru yang nilainya 14 dari bilangan semula.
Penyelesaian : Misalkan bilangan tersebut adalah N yang terdiri dari (n+1) digit. Maka diperoleh N=4×10n+x dengan x adalah bilangan terdiri dari n digit. Berdasarkan asumsi pada soal diperoleh,

4(10x+4)39x39x39x13x=4×10n+x=4×10n−16=4(10n−4)=4×999⋯99n6=4×333⋯33n2

Selanjutnya tinggal dicek nilai n terkecil sehingga 13 membagi 333⋯33n2.

1. 32=13×2+6
2. 332=13×25+7
3. 3332=13×256+4
4. 33332=13×2564

Oleh karena itu diperoleh, 13x=4×33332⇔x=4×2564=10256. Jadi, didapat N=410256.

Contoh 3.
Buktikan bilangan - bilangan dalam barisan

12,1122,111222,11112222,⋯

merupakan hasil perkalian dari dua bilangan bulat berurutan.
Penyelesaian : Kita selidiki untuk beberapa kasus 12=3×4, 1122=33×34, 111222=333×334. Nah mulai terlihat polanya, bahwa

11⋯11n22⋯22n=33⋯33n×33⋯33n−14

Tinggal bagaimana cara membuktikan argumen tersebut.
Untuk tujuan ini bentuk khusus seperti yang telah saya tuliskan di atas bisa dimanfaatkan. Perhatikan bahwa,

11⋯11n22⋯22n=11⋯11n×10n+22⋯22n=19(10n−1)×10n+29(10n−1)=19(10n−1)(10n+2)=(10n−13)(10n+23)=(10n−13)(10n−1+33)=(10n−13)(10n−13+1)

dan karena 10n−13=33⋯33n, maka terbukti.

Untuk Anda Coba !

1. Tentukan bilangan asli terkecil N yang memenuhi kedua sifat berikut :
   1. Digit terakhirnya adalah 6.
   2. Jika digit 6 tersebut dipindah menjadi digit pertama akan terbentuk bilangan baru yang nilainya empat kali N.
2. Buktikan jika abc habis dibagi 37 maka bca juga habis dibagi 37.
3. Misalkan N adalah bilangan tiga digit sedemikian sehingga jumlah ketiga digitnya sama dengan 21. Jika digit - digit dari N dibalik, sebagai contoh 123 menjadi 321, maka bilangan baru yang terbentuk lebih besar 495 dari N. Tentukan bilangan N tersebut.
4. Buktikan setiap bilangan pada barisan di bawah ini merupakan kuadrat sempurna,
   729,71289,7112889,711128889,⋯
5. Diketahui bilangan empat digit N dan jumlah keempat digitnya sama dengan 2001. Tentukan bilangan N tersebut.
6. Jika
   N=111⋯111989 digit×111⋯111989 digit
   Tentukan jumlah semua digit dari N.
7. Carilah semua bilangan kuadrat sempurna empat digit yang berbentuk aabb.
8. Carilah semua bilangan yang berawal dengan angka 6 dan mengecil 25 kali jika angka pertama dihapus.
9. Carilah semua bilangan yang angka keduanya dihapus menghasilkan faktor bilangan semula.
10. Carilah bilangan asli terkecil yang dimulai dengan angka 1 dan membesar tiga kali jika angka pertama dipindah menjadi angka terakhir.

Pusing? Berarti Anda berpikir. Lanjutkan dan dengan cara itu kita berkembang.