Soal dan Pembahasan Soal Olimpiade SMP Tingkat Kabupaten Tahun 2013 (Part 3)

Soal dan Pembahasan Soal Olimpiade SMP Tingkat Kabupaten/Kota Tahun 2013 (Part 3)

1. Tino sedang memanjat tangga dan sekarang dia berada tepat di tengah tangga. Jika ia naik 3 anak tangga ke atas, kemudian turun 5 anak tangga, serta naik kembali 10 anak tangga, maka Tino akan sampai di puncak tangga. Banyak anak tangga yang dimiliki tangga tersebut adalah ...
   Jawaban :Untuk mencapai puncak tangga Tino harus naik lagi sebanyak 3−5+10=8 anak tangga. Berarti di atas Tino masih ada 8 anak tangga. Karena saat ini dia berada tepat di tengah tangga maka di bawah Tino juga ada 8 anak tangga lagi. Sehingga total ada 8+1+8=17 anak tangga.
   
2. Ani mempunyai uang Rp16.500,00. Sejumlah uang itu akan dihabiskan untuk membeli 6 buah peralatan sekolah. Ia membeli beberapa pensil dengan harga Rp2.000,00 per pensil. Ia membeli beberapa buku dengan harga Rp2.500,00 per buku, dan ia juga membeli beberapa kotak pensil dengan harga Rp4.000,00 per kotak pensil. Banyak buku yang dibeli Ani adalah ...
   Jawaban :Misalkan x,y,z berturut - turut menyatakan banyaknya pensil, buku dan kotak pensil yang dibeli Ani dengan x,y,z adalah bilangan bulat positif. Selanjutnya diperoleh sistem pertidaksamaan,
   
   x+y+z=62000x+2500y+4000z=16500⇔4x+4y+4z=24⇔4x+5y+8z=33
   dari kedua persamaan tersebut diperoleh y+4z=9. Sehingga hanya ada dua kasus,
   a. Jika z=1 maka y=5 dan x=0 yang jelas tak mungkin sebab x bilangan bulat positif.
   b. Jika z=2 maka y=1 dan x=3. Mudah dicek bahwa penyelesaian ini memenuhi sistem persamaan di atas.
   Jadi, banyak buku yang dibeli Ani adalah satu buku.
3.  
4. Banyak bilangan positif n sehingga 2013n2−3 berupa bilangan bulat positif adalah ...
   Jawaban :Agar 2013n2−3 berupa bilangan bulat positif maka n2−3 adalah faktor positif dari 2013. Padahal 2013 memiliki delapan faktor positif yaitu 1,3,11,33,61,183,671,2013. Setelah dicek satu persatu diperoleh n=2,6,8. Jadi, ada tiga nilai bilangan bulat positif n yang memenuhi.
   
5. Diberikan tabel bilangan berikut:
   
   Jika diketahui bahwa jumlah masing-masing baris, kolom, dan diagonal adalah sama, maka nilai x+y adalah ...
   Jawaban :Dari baris kedua dan kolom ketiga diperoleh 2y−9=y−12 sehingga y=−3. Selain itu, dari kolom kedua dan kolom ketiga didapat x−15=y−12=−15 sehingga x=0. Oleh karena itu, x+y=−3.
   
6. Jika himpunan A mempunyai anggota sebanyak x dan himpunan B mempunyai anggota sebanyak y, x≤y, maka himpunan A∪B mempunyai anggota (maksimum) sebanyak ...
   Jawaban :n(A∪B) mencapai maksimum ketika A dan B saling lepas yaitu maksimum n(A∪B)=x+y≤2y. Jadi, nilai maksimum dari n(A∪B) adalah 2y.
   
7. Semua bilangan asli n yang memenuhi sifat bahwa 6n2+5n−4 adalah bilangan prima adalah ...
   Jawaban :Agar 6n2+5n−4=(3n+4)(2n−1) menjadi bilangan prima maka salah satu dari (3n+4) atau (2n−1) harus sama dengan 1. Akan tetapi karena n bilangan asli maka 3n+4>1. Sehingga haruslah 2n−1=1⇔n=1. Jadi, jawablah adalah n=1.
   
8. Jika S1=1,S2=S1−3,S3=S2+5,S4=S3−7,S5=S4+9,⋯ adalah suku - suku suatu barisan bilangan, maka S2013 adalah ...
   Jawaban :Barisan bilangan pada soal berbentuk : 1,−2,3,−4,5,⋯ sehingga S2013=2013.
9. Pada △ABC terdapat titik D pada BC sehingga BD:DC=1:3. Titik L pada AD sehingga AL:LD=1:4. Perbandingan luas △ACL dan △BDL adalah ...
   
   Jawaban :Misalkan luas △ABC=x, maka diperoleh
   
   luas △ACL=15⋅luas △ACD=15⋅34⋅luas △ABC=320x
   dan
   luas △BDL=45⋅luas △ABD=45⋅14⋅luas △ABC=15x
   Oleh karena itu, luas △ACLluas △BDL=320x15x=34
10. Suatu string terdiri dari 10 angka 0, 1, atau 2. Bobot string didefinisikan sebagai jumlah angka-angka dalam string tersebut. Sebagai contoh, string 0002002001 mempunyai bobot 5. Banyak string dengan bobot 4 adalah ...
    Jawaban :Untuk menghitung jawab soal ini bisa dihitung secara langsung dan tidak terlalu susah. Namun, alih - alih menghitung secara langsung saya akan memberi solusi sedikit berbeda. Untuk menghitung banyak string dengan bobot 4 sama saja mencari penyelesaian persamaan x1+x2+⋯+x10=4 lalu dikurang dengan penyelesaian yang ada angka 3 dan 4. Kita ketahui bahwa banyaknya penyelesaian persamaan x1+x2+⋯+x10=4 adalah C134=715. Sedangkan penyelesaian yang mengandung angka 4 ada 10, serta penyelesaian yang mengandung angka 3 ada 2⋅C102=90. Jadi, banyak string dengan bobot 4 adalah 715−10−90=615.
11. Tita memiliki tetangga baru yang memiliki 2 anak. Jika salah satu anak tetangga baru tersebut adalah perempuan, maka besar peluang anak yang lain adalah laki-laki adalah ...
    Jawaban :uang sampel dari kasus ini ada tiga yaitu (perempuan, perempuan),(perempuan, laki- laki) dan (laki- laki, perempuan). Oleh karena itu besar peluang anak yang lain laki-laki adalah 23.

Demikian akhir dari Pembahasan OSK Matematika SMP tahun 2013. Semoga bermanfaat. Apabila ada pertanyaan atau masukan jangan sungkan - sungkan. Langsung saja melalui kotak komentar di bawah.
Bye,