Matematika Online: September 2013

Friday, September 20, 2013

Diktat Pembinaan Olimpiade Matematika SMA Versi 5.2

Diktat Pembinaan Olimpiade Matematika SMA Versi 5.2

Download Diktat Pembinaan Olimpiade Matematika SMA Versi 5.2

Buku ini merupakan buku buatan Bapak Eddy Hermanto, ST. Semoga dengan adanya Diktat Pembinaan Olimpiade ini bermanfaat bagi Siswa dalam rangka persiapan menghadapi Olimpiade.

Semoga bermanfaat...

Thursday, September 19, 2013

Buku 9 Tahun OSN Matematika SMA

Buku 9 Tahun OSN Matematika SMA

Buku ini adalah kumpulan soal Olimpiade Matematika Tingkat SMA, buku ini disusun oleh Bapak Eddy Hermanto, ST. Beliau adalah pakar Olimpiade Matematika. Saya ucapkan terima kasih kepada beliau yang telah berbagi Ebok Buku 9 Tahun OSN Matematika SMA ini.

Berikut ini link download Buku 9 Tahun OSN Matematika SMA:

>>Download<<

Semoga bermanfaat...

Sunday, September 15, 2013

Buku SMA Kelas X: Sejarah Kurikulum 2013

Buku SMA Kelas X: Sejarah Kurikulum 2013

Download Buku Sejarah Kelas 10 Semester Ganjil untuk Siswa

Download Buku Sejarah Kelas 10 Semester Genap untuk Siswa

Pembelajaran Sejarah Indonesia untuk Kelas X jenjang Pendidikan Menengah yang disajikan dalam buku ini juga tunduk pada ketentuan tersebut. Sejarah Indonesia bukan berisi materi pembelajaran yang dirancang hanya untuk mengasah kompetensi pengetahuan peserta didik. Sejarah Indonesia adalah mata pelajaran yang membekali peserta didik dengan pengetahuan tentang dimensi ruang-waktu perjalanan sejarah Indonesia, keterampilan dalam menyajikan pengetahuan yang dikuasainya secara konkret dan abstrak, serta sikap menghargai jasa para pahlawan yang telah meletakkan pondasi bangunan negara Indonesia beserta segala bentuk warisan sejarah, baik benda maupun takbenda. Sehingga terbentuk pola pikir peserta didik yang sadar sejarah.

Sebagai pelajaran wajib yang harus diambil oleh semua peserta didik yang belum tentu berminat dalam bidang sejarah, buku ini disusun menggunakan pendekatan regresif yang lebih populer. Melalui pengamatan terhadap kondisi sosial-budaya dan sejumlah warisan sejarah yang bisa dijumpai saat ini, peserta didik diajak mengarungi garis waktu mundur ke masa lampau saat terjadinya peristiwa yang melandasi terbentuknya peradaban yang melatarbelakangi kondisi sosial-budaya dan warisan sejarah tersebut. Pembahasan dilanjutkan dengan peristiwa-peristiwa berikutnya yang menyebabkan berkembang atau menyusutnya peradaban tersebut sehingga menjadi yang tersisa saat ini.

Semoga bermanfaat..

Saturday, September 14, 2013

Buku SMA Kelas X: Bahasa Indonesia Kurikulum 2013

Buku SMA Kelas X: Bahasa Indonesia Kurikulum 2013

Download Buku Bahasa Indonesia Kelas 10 untuk Siswa

Pembelajaran Bahasa Indonesia untuk jenjang Pendidikan Menengah Kelas X yang disajikan dalam buku ini disusun dengan berbasis teks, baik lisan maupun tulis, dengan menempatkan Bahasa Indonesia sebagai wahana untuk mengekspresikan perasaan dan pemikiran. Didalamnya dijelaskan berbagai cara penyajian perasaan dan pemikiran dalam berbagai macam jenis teks. Pemahaman terhadap jenis, kaidah dan konteks suatu teks ditekankan sehingga memudahkan peserta didik menangkap makna yang terkandung dalam suatu teks maupun menyajikan perasaan dan pemikiran dalam bentuk teks yang sesuai sehingga tujuan penyampaiannya tercapai, apakah untuk menggugah perasaan ataukah untuk memberikan pemahaman.

Sebagai bagian dari Kurikulum 2013 yang menekankan pentingnya keseimbangan kompetensi sikap, pengetahuan dan keterampilan, kemampuan berbahasa yang dituntut tersebut dibentuk melalui pembelajaran berkelanjutan: dimulai dengan meningkatkan pengetahuan tentang jenis, kaidah dan konteks suatu teks, dilanjutkan dengan keterampilan menyajikan suatu teks tulis dan lisan baik terencana maupun spontan, dan bermuara pada pembentukan sikap kesantunan dan kejelian berbahasa serta sikap penghargaan terhadap Bahasa Indonesia sebagai warisan budaya bangsa.

Buku ini menjabarkan usaha minimal yang harus dilakukan peserta didik untuk mencapai kompetensi yang diharapkan. Sesuai dengan pendekatan yang digunakan dalam Kurikulum 2013, peserta didik diajak menjadi berani untuk mencari sumber belajar lain yang tersedia dan terbentang luas di sekitarnya. Peran guru dalam meningkatkan dan menyesuaikan daya serap peserta didik dengan ketersediaan kegiatan pada buku ini sangat penting. Guru dapat memperkayanya dengan kreasi dalam bentuk kegiatan-kegiatan lain yang sesuai dan relevan yang bersumber dari lingkungan sosial dan alam.

Semoga bermanfaat...

Friday, September 13, 2013

Luas Daerah Kurva Dengan Integral

Luas Daerah Kurva Dengan Integral

Soal-soal mengenai Luas Daerah Kurva dapat diselesaikan dengan beberapa metode. Untuk kurva berbentuk linear atau garis lurus, luas dapat dicari dengan metode biasa (menghitung luas segitiga atau trapesium). Tetapi untuk kurva dari persamaan kuadrat ataupun persamaan pangkat tiga, cara biasa tidak dapat digunakan.

Untuk kurva hasil persamaan kuadrat dan persamaan pangkat banyak lainnya, kita perlu menggunakan cara integral untuk menghitung luasnya. Cara integral inilah yang dipelajari pada tingkat Kelas XII IPA. Sebagai bahan belajar, berikut ini diberikan 8 contoh soal mengenai luas daerah kurva. Selamat berlatih

Carilah luas kurva $y = x^2 + 1$ di antara garis x=0, x=4 dan sumbu x.

Jawaban:

$\begin{align*} \int_0^4 (x^2+1) \: \mathrm{d}x &= \left[\frac{1}{3}x^3 + x \right]_0^4 \\ &= \frac{1}{3} \cdot 4^3 + 4 - (\frac{1}{3} \cdot 0^3 + 0 ) \\ &= \frac{64}{3} + \frac{12}{3} - 0 \\ &= \frac{76}{3} \\ &= 25\frac{1}{3} \: \text{satuan} \end{align*}$
Tentukanlah luas yang dibentuk oleh y = sin x, y = 1, x = 0 dan terletak di kuadran 1.
Jawaban:

Kuadran 1 artinya batas integral mulai dari $0 \: - \: \frac{\pi}{2}$
$\begin{align*} \text{Luas kurva} &= \int_0^\frac{\pi}{2} \sin x \: \mathrm{d}x \\ &= \left[-\cos x\right]_0^\frac{\pi}{2} \\ &= -\cos (\frac{\pi}{2}) - (-\cos 0) \\ &= 0 + 1 \\ &= 1 \end{align*}$
Perhatikan gambar di bawah ini.

Tentukan luas yang dibentuk oleh garis $y = 5 - x^2$ dan $y = (x-1)^2$ .
Jawaban:

Cari dahulu titik potong kedua kurva untuk dijadikan batas
$\begin{align*} 5 - x^2 &= (x-1)^2 \\ 5 - x^2 &= x^2 - 2x + 1 \\ 0 &= x^2 + x^2 - 2x + 1 - 5 \\ 0 &= 2x^2 - 2x - 4 \\ 0 &= x^2 - x - 2 \\ 0 &= (x-2) (x+1) \\ \end{align*}$
$\begin{align*} x_1 &= 2 \\ x_2 &= -1 \\ y_1 &= (2-1)^2 \\ &= 1 \\ y_2 &= (-1-1)^2 \\ &= 4 \\ \end{align*}$
Jadi titik potong adalah (2, 1) dan (-1, 4), sehingga batas integral yang digunakan adalah -1 sampai dengan 2.
$\begin{align*} \text{Luas kurva} &= \int_{-1}^2 5 - x^2 - (x-1)^2 \: \mathrm{d}x \\ &= \int_{-1}^2 5 - x^2 - (x^2 -2x + 1) \: \mathrm{d}x \\ &= \int_{-1}^2 5 - x^2 - x^2 + 2x - 1 \: \mathrm{d}x \\ &= \int_{-1}^2 -2x^2 + 2x + 4 \: \mathrm{d}x \\ &= \left[-\frac{2}{3}x^3 + x^2 + 4x \right]_{-1}^2 \\ &= -\frac{2}{3} \cdot 2^3 + 2^2 + 4 \cdot 2 - \left(-\frac{2}{3} \cdot (-1)^3 + (-1)^2 + 4(-1) \right) \\ &= -\frac{16}{3} + 4 + 8 - \left(\frac{2}{3} + 1 - 4 \right) \\ &= -\frac{16}{3} + 12 - \frac{2}{3} + 3 \\ &= -\frac{18}{3} + 15 \\ &= -6 + 15 \\ &= 9 \end{align*}$
Carilah luas yang diarsir dari gambar dibawah ini. Persamaan garisnya adalah $y^2 = x + 1$ dan $x - y = 1$ .

Jawaban:

Supaya lebih mudah, lebih baik kita menghitung luas kurva terhadap sumbu y. Sesuaikan persamaan kurva sehingga menjadi $x = y^2 -1$ dan $x = y + 1$ , lalu cari titik potong nya.
$\begin{align*} y^2 - 1 &= y + 1 \\ y^2 - y - 1 - 1 &= 0 \\ y^2 - y -2 &= 0 \\ (y-2)(y+1) &= 0 \\ \end{align*}$
$\begin{align*} y_1 &= 2 \\ x_1 &= 2 + 1 \\ &= 3 \\ y_2 &= -1 \\ x_2 &= -1 + 1 \\ &= 0 \end{align*}$
Lakukan Integral dari kurva kanan dikurang kurva kiri. Gunakan batas integral dari -1 sampai 2.
$\begin{align*} \text{Luas Kurva} &= \int_{-1}^2 y+1 - (y^2 - 1) \: \mathrm{d}y \\ &= \int_{-1}^2 y+1 - y^2 + 1 \: \mathrm{d}y \\ &= \int_{-1}^2 2 + y- y^2 \: \mathrm{d}y \\ &= \left[ 2y + \frac{1}{2}y^2 - \frac{1}{3}y^3 \right]_{-1}^2 \\ &= 2(2) + \frac{1}{2}(2)^2 - \frac{1}{3}(2)^3 - \left[2(-1) + \frac{1}{2}(-1)^2 - \frac{1}{3}(-1)^3 \right] \\ &= 4 + 2 - \frac{8}{3} - \left[-2 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \right] \\ &= 6 - \frac{8}{3} + 2 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \\ &= 8 - \frac{9}{3} - \frac{1}{2} \\ &= 8 - 3 - \frac{1}{2} \\ &= 5 - \frac{1}{2} \\ &= 4\frac{1}{2} \end{align*}$
Carilah luas daerah yang dibatasi oleh garis $y=2x$ , $y=\frac{1}{2}x$ dan $x+y=6$ !
Jawaban:

Untuk menyelesaikan soal ini, gambarlah dulu ketiga garis dan tandai luas yang ingin dicari.

Melihat gambar yang diarsir, cara untuk menyelesaikan adalah dengan membagi 2 daerah seperti gambar dibawah ini

Cari terlebih dahulu titik potong antara kurva y=2x dengan x+y=6.
$\begin{align*} x+y &= 6 \\ y &= 6-x \\ 2x &= 6 -x \\ 3x &= 6 \\ x &= 2 \\ y &= 6-2 \\ &= 4 \end{align*}$
Lalu cari titik potong antara kurva y=1/2 x dengan x+y=6.
$\begin{align*} x+y &= 6 \\ y &= 6-x \\ \frac{1}{2}x &= 6 -x \\ \frac{3}{2}x &= 6 \\ x &= 6 \cdot \frac{2}{3} \\ &= 4 \\ y &= 6-4 \\ &= 2 \end{align*}$
Cari luas kurva bagian I.
$\begin{align*} \text{Luas Kurva I} &= \int_0^2 2x - \frac{1}{2}x \: \mathrm{d}x \\ &= \int_0^2 \frac{3}{2}x \: \mathrm{d}x \\ &= \left[\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} x^2\right]_0^2 \\ &= \left[\frac{3}{4} x^2\right]_0^2 \\ &= \frac{3}{4} (2)^2 - 0 \\ &= 3 \end{align*}$
Cari luas kurva bagian II.
$\begin{align*} \text{Luas Kurva II} &= \int_2^4 6-x - \frac{1}{2}x \: \mathrm{d}x \\ &= \int_2^4 6 - \frac{3}{2}x \: \mathrm{d}x \\ &= \left[6x - \frac{3}{4} x^2\right]_2^4 \\ &= 6(4) - \frac{3}{4} (4)^2 - \left(6(2) - \frac{3}{4}(2)^2 \right) \\ &= 24 - 12 - 12 + 3 \\ &= 3 \end{align*}$
Jadi luas yang diarsir adalah Luas Kurva I + Luas Kurva II = 6 cm.
Hitunglah luas daerah kurva $y = x^2 - 3x$ , yang dibatasi sumbu y dan garis x = 5 !
Jawaban:

Untuk menyelesaikan soal ini, pertama carilah titik potong dengan sumbu x. Lalu supaya lebih jelas, gambarlah kurva tersebut.
Titik potong dengan sumbu x
$\begin{align*} y &= x^2 - 3x \\ 0 &= x (x-3) \\ x_1 &= 0 \\ x_2 &= 3 \end{align*}$
Gambarlah kurva tersebut

Dari gambar terlihat bahwa ada 2 daerah dimana yang satu berada di bawah sumbu x dan yang satu di atas sumbu x. Supaya penjumlahan kedua daerah tersebut benar, maka kita perlu untuk memecahkan integral menjadi dua interval, yaitu dari 0-3, dan dari 3-5.
$\begin{align*} \text{Luas Daerah I} &= \int_0^3 x^2 - 3x \: \mathrm{d}x \\ &= \left[\frac{1}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 \right]_0^3 \\ &= \frac{1}{3}(3)^3 - \frac{3}{2}(3)^2 - 0 \\ &= \frac{1}{3}(27) - \frac{3}{2}(9) \\ &= 9 - \frac{27}{2} \\ &= \frac{18}{2} - \frac{27}{2} \\ &= -\frac{9}{2} \end{align*}$
$\begin{align*} \text{Luas Daerah II} &= \int_3^5 x^2 - 3x \: \mathrm{d}x \\ &= \left[\frac{1}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 \right]_3^5 \\ &= \frac{1}{3}(5)^3 - \frac{3}{2}(5)^2 - \left(\frac{1}{3}(3)^3 - \frac{3}{2}(3)^2 \right) \\ &= \frac{1}{3}(125) - \frac{3}{2}(25) - \left(-\frac{9}{2} \right) \\ &= \frac{125}{3} - \frac{75}{2} + \frac{9}{2} \\ &= \frac{250}{6} - \frac{66}{2} \\ &= \frac{250}{6} - \frac{198}{6} \\ &= \frac{52}{6} \end{align*}$
Tanda minus pada luas daerah I perlu diabaikan karena tanda minus hanya menandakan bahwa letak daerah berada di bawah sumbu x. Carilah luas kurva dengan menambahkan kedua daerah tersebut
$\begin{align*} \text{Luas Kurva} &= \text{Luas Daerah I} + \text{Luas Daerah II} \\ &= \left| -\frac{9}{2} \right| + \frac{52}{6} \\ &= \frac{27}{6} + \frac{52}{6} \\ &= \frac{79}{6} \\ &= 13\frac{1}{6} \end{align*}$
Tentukanlah luas daerah yang dibatasi oleh $y = x^3 - 3x^2 + 2x$ dan sumbu x !
Jawaban:

Untuk grafik fungsi pangkat 3, perlu dianalisa ada berapa titik potong pada sumbu x nya. Jika titik potong sumbu x lebih dari satu, maka untuk amannya, kita perlu melakukan integral secara terpisah untuk masing-masing interval titik potong. Ini karena dalam fungsi pangkat 3 terkadang ada fungsi naik dan fungsi turun yang saling meniadakan. Jika kita langsung mengintegral tanpa memecah interval, hasilnya akan salah.
Cari titik potong grafik dengan sumbu x (berarti y = 0).
$\begin{align*} y &= x^3 - 3x^2 + 2x \\ &= x(x^2 - 3x + 2) \\ &= x(x-2)(x-1) \\ 0 &= x(x-2)(x-1) \\ x_1 &= 0 \\ x_2 &= 1 \\ x_3 &= 2 \end{align*}$
Jika digambar, hasilnya kurang lebih seperti di bawah ini.

Disini dapat kita lihat bahwa daerah A berada di atas sumbu x dan daerah B di bawah sumbu x. Jika kita langsung menggabungkan kedua daerah tersebut, akan didapat hasil = 0, sehingga kita perlu memecah interval dan mencari masing-masing daerah.
$\begin{align*} \text{Luas Daerah A} &= \int_0^1 x^3 - 3x^2 + 2x \: \mathrm{d}x \\ &= \left[\frac{1}{4}x^4 - \frac{3}{3}x^3 + \frac{2}{2}x^2 \right]_0^1 \\ &= \left[\frac{1}{4}x^4 - x^3 + x^2 \right]_0^1 \\ &= \frac{1}{4}(1)^4 - (1)^3 + (1)^2 - 0 \\ &= \frac{1}{4} - 1 + 1 \\ &= \frac{1}{4} \end{align*}$
$\begin{align*} \text{Luas Daerah B} &= \int_1^2 x^3 - 3x^2 + 2x \: \mathrm{d}x \\ &= \left[\frac{1}{4}x^4 - x^3 + x^2 \right]_1^2 \\ &= \frac{1}{4}(2)^4 - (2)^3 + (2)^2 - \left(\frac{1}{4}(1)^4 - (1)^3 + (1)^2 \right) \\ &= \frac{1}{4}(16) - 8 + 4 - \left(\frac{1}{4} - 1 + 1 \right) \\ &= 4 - 8 + 4 - \frac{1}{4} \\ &= -\frac{1}{4} \end{align*}$
Perhatikan bahwa luas B bernilai minus, karena letaknya yang di bawah sumbu x. Inilah yang menyebabkan perhitungan integral secara langsung akan saling meniadakan. Untuk menghitung luas, nilai minus ini harus kita abaikan, yang kita perhitungkan hanya luas daerahnya saja.
$\begin{align*} \text{Luas Kurva} &= \text{Luas Daerah A} + \text{Luas Daerah B} \\ &= \frac{1}{4} + \left| -\frac{1}{4} \right| \\ &= \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \\ &= \frac{1}{2} \end{align*}$

Semoga bermanfaat...

Wednesday, September 11, 2013

Buku SMP Kelas VII: Seni Budaya Kurikulum 2013

Buku SMP Kelas VII: Seni Budaya Kurikulum 2013

Download Buku Seni Budaya Kelas 7 Semester Ganjil untuk Siswa

Download Buku Seni Budaya Kelas 7 Semester Genap untuk Siswa

Seni Budaya bukan aktivitas dan materi pembelajaran yang dirancang hanya untuk mengasah kompetensi keterampilan peserta didik sebagaimana dirumuskan selama ini. Seni Budaya harus mencakup aktivitas dan materi pembelajaran yang memberikan kompetensi pengetahuan tentang karya seni budaya dan kompetensi sikap yang terkait dengan seni budaya. Seni Budaya dalam Kurikulum 2013 dirumuskan untuk mencakup sekaligus studi karya seni budaya untuk mengasah kompetensi pengetahuan, baik dari karya maupun nilai yang terkandung di dalamnya, praktik berkarya seni budaya untuk mengasah kompetensi keterampilan, dan pembentukan sikap apresiasi terhadap seni budaya sebagai hasil akhir dari studi dan praktik karya seni budaya.

Pembelajarannya dirancang berbasis aktivitas dalam sejumlah ranah seni budaya, yaitu seni rupa, tari, musik, dan teater yang diangkat dari tema-tema seni yang merupakan warisan budaya bangsa. Selain itu juga mencakup kajian warisan budaya yang bukan berbentuk praktik karya seni budaya. Aktivitas-aktivitas tersebut tidak hanya terkait dengan studi dan praktik karya seni budaya, melainkan juga melalui pelibatan aktif tiap peserta didik dalam kegiatan seni budaya yang diselenggarakan oleh kelas maupun sekolah. Sebagai mata pelajaran yang mengandung unsur muatan lokal, tambahan materi yang digali dari kearifan lokal dan relevan sangat diharapkan untuk ditambahkan sebagai pengayaan dari buku ini.

Sesuai dengan konsep Kurikulum 2013, buku ini disusun dengan mengacu pada pembelajaran Seni Budaya secara terpadu dan utuh. Keterpaduan dan keutuhan tersebut diwujudkan dalam rangkaian bahwa setiap pengetahuan yang diajarkan, pembelajarannya harus dilanjutkan sampai membuat siswa terampil dalam menyajikan pengetahuan yang dikuasainya secara konkret dan abstrak dalam bentuk atau terkait dengan karya seni budaya, dan bersikap sebagai manusia dengan rasa penghargaan yang tinggi terhadap karya-karya seni warisan budaya dan warisan budaya bentuk lainnya.

Berikut ini link download:

Buku Untuk Siswa >>Download<<

Buku Untuk Guru >>Download<<

Semoga bermanfaat...

Tuesday, September 10, 2013

Soal Integral Tak Tentu

Soal Integral Tak Tentu

Posting pertama kali ini adalah mengenai soal Matematika kelas XII / IPA, yaitu soal Integral Tak Tentu. Ada sepuluh contoh soal Integral Tak Tentu beserta pembahasan dan jawabannya. Selamat berlatih dan semoga bermanfaat.

$\int (2x^2 + 4x - 5) \: \mathrm{d}x = \dots$
Jawaban:
$\frac{2}{3} x^3 + 2x^2 - 5x + C$
$\int 5x \sqrt[3]{x^2} \: \mathrm{d}x = \dots$

Jawaban:

$\begin{align*} \int 5x \sqrt[3]{x^2} \: \mathrm{d}x &= \int 5x \cdot x^\frac{2}{3} \: \mathrm{d}x \\ &= \int 5x^\frac{5}{3} \: \mathrm{d}x \\ &= 5 \cdot \frac{3}{8} \cdot x^\frac{8}{3} + C \\ &= \frac{15}{8} x^2 \sqrt[3]{x^2} + C \\ \end{align*}$
$\int x(2x-1)^2 \: \mathrm{d}x = \dots$
Jawaban:
$\begin{align*} \int x(2x-1)^2 \: \mathrm{d}x &= \int x(4x^2 - 4x + 1) \: \mathrm{d}x \\ &= \int (4x^3 - 4x^2 + x) \: \mathrm{d}x \\ &= x^4 - \frac{4}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + C \end{align*}$
$\int \frac{x^3 - 1}{\sqrt{x^3} - \sqrt{x}} \: \mathrm{d}x = \dots$
Jawaban:
$\begin{align*} \int \frac{x^3 - 1}{\sqrt{x^3} - \sqrt{x}} \: \mathrm{d}x &= \int \frac{(x-1)(x^2+x+1)}{(x-1)\sqrt{x}} \: \mathrm{d}x \\ &= \int \frac{\cancel{(x-1)}(x^2+x+1)}{\cancel{(x-1)}\sqrt{x}} \: \mathrm{d}x \\ &= \int x^{-\frac{1}{2}}(x^2+x+1) \: \mathrm{d}x \\ &= \int x^\frac{3}{2} + x^\frac{1}{2} + x^{-\frac{1}{2}} \: \mathrm{d}x \\ &= \frac{2}{5}x^\frac{5}{2} + \frac{2}{3}x^\frac{3}{2} + 2x^\frac{1}{2} + C \\ &= \frac{2}{5}x^2\sqrt{x} + \frac{2}{3}x\sqrt{x} + 2\sqrt{x} + C \end{align*}$
Sebuah kurva mempunyai turunan $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 3x^2 - 2x$ . Kurva tersebut melewati titik $(2, 5)$ . Tentukan persamaan kurva tersebut.
Jawaban:
- Pertama cari dahulu integral dari turunan
  $\int 3x^2 - 2x \: \mathrm{d}x = x^3 - x^2 + C$
- Selanjutnya cari nilai C dengan memasukkan titik $(2, 5)$ ke persamaan
  $\begin{align*} y &= x^3 - x^2 + C \\ 5 &= 2^3 - 2^2 + C \\ 5 &= 8 - 4 + C \\ 5 &= 4 + C \\ C &= 1 \end{align*}$
  Jadi Persamaan kurva tersebut adalah $y = x^3 - x^2 + 1$
$\int \frac{\mathrm{d}x}{4x^3} = \dots$
Jawaban:
$\begin{align*} \int \frac{\mathrm{d}x}{4x^3} &= \frac{1}{4} \int x^{-3} \: \mathrm{d}x \\ &= \frac{1}{4} (\frac{x^{-2}}{-2}) + C \\ &= \frac{x^{-2}}{-8} + C \\ &= - \frac{1}{8x^2} + C \end{align*}$
$\int \frac{x^2 - 4x + 3}{x^2 - x} \: \mathrm{d}x = \dots$
Jawaban:
$\begin{align*} \int \frac{x^2 - 4x + 3}{x^2 - x} \: \mathrm{d}x &= \int \frac{(x-1)(x-3)}{x(x-1)} \: \mathrm{d}x \\ &= \int \frac{\cancel{(x-1)}(x-3)}{x\cancel{(x-1)}} \: \mathrm{d}x \\ &= \int \frac{x-3}{x} \: \mathrm{d}x \\ &= \int 1 - \frac{3}{x} \: \mathrm{d}x \\ &= \int 1 \: \mathrm{d}x - \int \frac{3}{x} \: \mathrm{d}x \\ &= x - 3 \ln{|x|} + C \end{align*}$
$\int (a^\frac{1}{3} - x^\frac{1}{3})^3 \: \mathrm{d}x = \dots$
Jawaban:
Ingat bahwa : $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$
$\begin{align*} \int (a^\frac{1}{3} - x^\frac{1}{3})^3 \: \mathrm{d}x &= \int (a^\frac{1}{3})^3 - 3(a^\frac{1}{3})^2x + 3a(x^\frac{1}{3})^2 - (x^\frac{1}{3})^3\: \mathrm{d}x \\ &= \int a - 3a^\frac{2}{3}x + 3ax^\frac{2}{3} + x \: \mathrm{d}x \\ &= ax - 3a^\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}x^2 + 3a \cdot \frac{3}{5} \cdot x^\frac{5}{3} - \frac{1}{2}x^2 + C \\ &= ax - \frac{3}{2}a^\frac{2}{3}x^2 + \frac{9}{5}ax^\frac{5}{3} + C \\ &= ax - \frac{3}{2}\sqrt[3]{a^2}x^2 + \frac{9}{5}ax\sqrt[3]{x^2} + C \end{align*}$
$\int \frac{4x^6 - 3x^5 - 8}{x^7} \: \mathrm{d}x = \dots$
Jawaban:
$\begin{align*} \int \frac{4x^6 - 3x^5 - 8}{x^7} \: \mathrm{d}x &= \int \frac{4}{x} - \frac{3}{x^2} - \frac{8}{x^7} \: \mathrm{d}x \\ &= 4 \ln{|x|} - 3 (-1) (x^{-1}) - 8 (-\frac{1}{6})(x^{-6}) + C \\ &= 4 \ln{|x|} + \frac{3}{x} + \frac{8}{6x^6} + C \\ \end{align*}$
$\int \frac{\sqrt{x^3}-x^3}{\sqrt{x}-x} \: \mathrm{d}x = \dots$
Jawaban:
Ingat bahwa : $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$
$\begin{align*} \int \frac{\sqrt{x^3}-x^3}{\sqrt{x}-x} \: \mathrm{d}x &= \int \frac{(x^3)^\frac{1}{2} - x^3}{x^\frac{1}{2} - x} \: \mathrm{d}x \\ &=\int \frac{(x^\frac{1}{2})^3 - x^3}{x^\frac{1}{2} - x} \: \mathrm{d}x \\ &= \int \frac{(x^\frac{1}{2} - x)\left((x^\frac{1}{2})^2 + (x^\frac{1}{2})(x) + (x)^2\right)}{(x^\frac{1}{2} - x)} \: \mathrm{d}x \\ &= \int \frac{\cancel{(x^\frac{1}{2} - x)}\left((x^\frac{1}{2})^2 + (x^\frac{1}{2})(x) + (x)^2\right)}{\cancel{(x^\frac{1}{2} - x)}} \: \mathrm{d}x \\ &= \int x + x^\frac{3}{2} + x^2 \: \mathrm{d}x \\ &= \frac{1}{2} x^2 + \frac{2}{5}x^\frac{5}{2} + \frac{1}{3}x^3 + C \\ &= \frac{1}{2} x^2 + \frac{2}{5}x^2\sqrt{x} + \frac{1}{3}x^3 + C \end{align*}$

Semoga bermanfaat..